Numerické metody modelování ploch v počítačové grafice

Praha
Diplomové práce
Anotace

V mnoha aplikacích – od počítačové grafiky, přes zpracování obrazů až po výpočty v biologii a fyzice – je třeba modelovat evoluci hladkých ploch v čase. Tyto plochy se často vyvíjejí podle zákonů založených na jejich geometrických vlastnostech, zejména křivosti. Jedním z takových zákonů je surface diffusion, kde normálová rychlost je dána Laplace–Beltramiho operátorem střední křivosti. Tato evoluce popisuje např.:

  • vyhlazování povrchů,
  • difúzní tok v materiálových vědách,
  • vývoj biologických membrán,
  • modelování ploch v architektuře, 
  • uměleckou modelaci ploch (např. Monster Mash).

Cílem tohoto tématu je optimalizovat existující implementaci řešiče za pomoci využití Newtonovy metody a aplikovat jej zejména na modelování pomocí metody Monster Mash se snahou vytváření komplikovanějších tvarů.

Cíle práce (konkrétní zadání se domluví individuálně se studentem):

  1. Seznámit se s modelem surface diffusion v diskrétní podobě pro reprezentaci uzlovými body (např. Lagrangeovský popis křivky nebo sítě bodů na ploše).
  2. Implementovat implicitní metodu pro časovou diskretizaci.
  3. Řešit nelineární rovnice pomocí Newtonovy metody, včetně výpočtu Jacobiánu a řešení lineárních systémů.
  4. Zajistit tangenciální redistribuci bodů pro zachování numerické kvality sítě.
  5. Ověřit a porovnat vývoj ploch na různých geometriích a srovnat výsledky s existujícími přístupy (např. Monster Mash).
  6. (Volitelně) Rozšířit model o další efekty (např. elastická energie, objemové zachování, topologické změny).

Přínosy pro studenta:

  1. Naučí se formulovat a řešit geometrické evoluční PDE.
  2. Získá zkušenosti s Newtonovou metodou pro nelineární systémy.
  3. Vyzkouší si kombinaci diferenciální geometrie, numeriky a grafiky.
  4. Práce může mít přímé uplatnění v modelování, animaci nebo výpočetní biologii.

Zdroje:

  1. Dvorožňák, Marek, et al. "Monster mash: a single-view approach to casual 3D modeling and animation." ACM Transactions on Graphics (ToG) 39.6 (2020): 1-12.
  2. Morigi, Serena. "Geometric surface evolution with tangential contribution." Journal of Computational and Applied Mathematics 233.5 (2010): 1277-1287.
  3. Kelley, Carl T. Solving nonlinear equations with Newton's method. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.
Vedoucí práce
KOS
KOS