Místo
Anotace
V mnoha aplikacích – od počítačové grafiky, přes zpracování obrazů až po výpočty v biologii a fyzice – je třeba modelovat evoluci hladkých ploch v čase. Tyto plochy se často vyvíjejí podle zákonů založených na jejich geometrických vlastnostech, zejména křivosti. Jedním z takových zákonů je surface diffusion, kde normálová rychlost je dána Laplace–Beltramiho operátorem střední křivosti. Tato evoluce popisuje např.:
- vyhlazování povrchů,
- difúzní tok v materiálových vědách,
- vývoj biologických membrán,
- modelování ploch v architektuře,
- uměleckou modelaci ploch (např. Monster Mash).
Cílem tohoto tématu je optimalizovat existující implementaci řešiče za pomoci využití Newtonovy metody a aplikovat jej zejména na modelování pomocí metody Monster Mash se snahou vytváření komplikovanějších tvarů.
Cíle práce (konkrétní zadání se domluví individuálně se studentem):
- Seznámit se s modelem surface diffusion v diskrétní podobě pro reprezentaci uzlovými body (např. Lagrangeovský popis křivky nebo sítě bodů na ploše).
- Implementovat implicitní metodu pro časovou diskretizaci.
- Řešit nelineární rovnice pomocí Newtonovy metody, včetně výpočtu Jacobiánu a řešení lineárních systémů.
- Zajistit tangenciální redistribuci bodů pro zachování numerické kvality sítě.
- Ověřit a porovnat vývoj ploch na různých geometriích a srovnat výsledky s existujícími přístupy (např. Monster Mash).
- (Volitelně) Rozšířit model o další efekty (např. elastická energie, objemové zachování, topologické změny).
Přínosy pro studenta:
- Naučí se formulovat a řešit geometrické evoluční PDE.
- Získá zkušenosti s Newtonovou metodou pro nelineární systémy.
- Vyzkouší si kombinaci diferenciální geometrie, numeriky a grafiky.
- Práce může mít přímé uplatnění v modelování, animaci nebo výpočetní biologii.
Zdroje:
- Dvorožňák, Marek, et al. "Monster mash: a single-view approach to casual 3D modeling and animation." ACM Transactions on Graphics (ToG) 39.6 (2020): 1-12.
- Morigi, Serena. "Geometric surface evolution with tangential contribution." Journal of Computational and Applied Mathematics 233.5 (2010): 1277-1287.
- Kelley, Carl T. Solving nonlinear equations with Newton's method. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.
Vedoucí práce
KOS