Physics-informed machine learning (PIML) představuje moderní výzkumný směr na pomezí strojového učení a numerického modelování, který propojuje data-driven přístup s fyzikálními znalostmi popsanými pomocí diferenciálních či integrálních rovnic.
Základem PIML je obvykle návrh a trénink neuronových sítí, které jsou konstruovány tak, aby respektovaly fyzikální zákony – typicky ve formě parciálních diferenciálních rovnic (PDE). Tyto zákony jsou do modelu zakomponovány prostřednictvím modifikované ztrátové funkce, která penalizuje odchylky od fyzikálně platného chování.
Tento přístup spojuje:
- aproximační schopnosti neuronových sítí,
- metody automatické diferenciace,
- a znalost fyzikálních principů.
Díky tomu lze například:
- řešit PDE bez explicitní diskretizace – tedy bez potřeby generování sítě a odvozování numerického schématu,
- kombinovat fyzikální modely s měřenými daty – například přidáním známých hodnot do trénovací množiny,
- řešit inverzní nebo optimalizační úlohy, kde neznámé parametry či vstupy modelu mají být odhadnuty z výstupních dat.
Tato oblast propojuje znalosti z numerické matematiky, optimalizace, diferenciální geometrie a statistiky. Studenti se tak mohou věnovat řešení fyzikálních problémů pomocí moderních nástrojů strojového učení, aniž by se museli vzdát přesnosti nebo interpretovatelnosti výstupu.
Cíle práce (konkrétní zadání se domluví individuálně se studentem):
- Prostudovat základní principy physics-informed neural networks (PINN).
- Implementovat PIML metodu pro řešení vhodné úlohy, např. ve zpracování medicínských dat, řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic (Navierovy-Stokesovy rovnice, eikonální rovnice), fitování parametrů modelů nebo optimálního řízení. .
- Umožnit přidání učících dat a testovat model na úlohách inverzního typu.
- Ověřit výsledky porovnáním s klasickým numerickým řešením.
- (Volitelně) Navrhnout paralelní implementaci v knihovně TNL nebo s využitím GPU.
Přínos pro studenta:
- Získá znalosti z oblasti strojového učení a fyzikálně založeného modelování.
- Vyzkouší si návrh a trénink neuronových sítí v kombinaci s formulací diferenciálních rovnic.
- Seznámí se s metodami automatického derivování a moderními optimalizačními technikami.
- Osvojí si numerické řešení fyzikálních úloh bez nutnosti explicitní diskretizace.
Zdroje:
- C. C. Aggarwal: Neural Networks and Deep Learning: A Textbook, Springer 2018.
- G. Karniadakis et al.: Physics-informed machine learning, Nature Reviews Physics, 3, 422–440, 2021.
- C. Meng et al.: When Physics Meets Machine Learning: A Survey of Physics-Informed Machine Learning, arXiv:2203.16797.
