Metoda konečných prvků s interpolací pomocí neuronových sítí

Metoda konečných prvků (FEM – Finite Element Method) je dnes jedním z nejrozšířenějších nástrojů pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDE). Díky své flexibilitě při práci s nepravidelnými doménami a složitými okrajovými podmínkami nachází uplatnění v oblastech jako je mechanika kontinua, termodynamika, elektromagnetismus nebo proudění tekutin.

Navzdory své robustnosti má klasická FEM několik omezení:

1. báze funkcí (např. lineární nebo kvadratické) jsou pevně dané a neadaptivní,
2. interpolace závisí na kvalitně použité numerické sítě,
3. pro dosažení vyšší přesnosti je často nutné zahušťování sítě, což zvyšuje výpočetní náročnost.

V posledních letech se objevuje snaha tyto limity překonat pomocí nástrojů strojového učení, konkrétně neuronových sítí. Jedním z přístupů je nahradit tradiční FEM báze trénovatelnou neuronovou strukturou, která se dokáže lépe přizpůsobit tvaru řešení i kvalitě diskrétní sítě. Tento přístup je znám jako neuronové FEM.

Cíle práce (jde o cíle pro víceletou navazjící práci):

1. Seznámit se se základy metody konečných prvků včetně prvků vyšších řádů.
2. Implementovat základní metodu FEM v knihovně TNL.
3. Otestovat implementaci na vhodných úlohách.
4. Seznámit se se základy neuronových sítí a jejich využití v metodě konečných prvků.
5. Implementovat metodu Finite Element Neural Network Interpolation (FENNI) v knihovně TNL a otestovat na vhodných úlohách.

Přínosy pro studenta:

1. Získá velice dobré znalosti jak metody konečných prvků, tak i základy neuronvých sítí a jejich využití pro numerické výpočty.
2. Získá velice dobrou znalost jazyka C++.
3. Přispěje k rozvoji nejnovějších numerických metod pro řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Zdroje:

1. Škardová, Kateřina, Alexandre Daby-Seesaram, and Martin Genet. "Finite Element Neural Network Interpolation. Part I: Interpretable and Adaptive Discretization for Solving PDEs." arXiv preprint arXiv:2412.05719 (2024).