Topologická analýza dat

V mnoha moderních aplikacích – jako je bioinformatika, analýza neuronálních dat, rozpoznávání obrazů nebo modelování materiálů – se setkáváme s daty, která mají složitou vnitřní strukturu. Klasické metody analýzy (statistika, PCA, klastry) často zachycují pouze lineární nebo lokální vztahy.

Topologická data analysis (TDA) přistupuje k datům jinak – zkoumá globální a tvarové vlastnosti dat, jako jsou:

• počet komponent (spojitost),
• kruhové struktury (dutiny),
• víceúrovňová propojení (homologie vyšších řádů).

Oproti např. neuronovým sítím má TDA hlavně tyto výhody:

1. Výsledky jsou snadněji vysvětlitelné, na rozdíl od black-box výstupů neuronových sítí.
2. Není citlivá na malé perturbace nebo geometrické šumy.
3. TDA nepotřebuje velké množství trénovacích dat.
4. TDA nevyžaduje učení. Naopak může být využita jako předzpracování dat pro následnou aplikaci NN.

Cílem je extrahovat invariantní charakteristiky dat, které jsou odolné vůči šumu a deformacím, ale zároveň dostatečně diskriminační, aby odhalily významné struktury. V současnosti je téměř nulová podpora využití GPU v TDA algoritmech. To může být další možnou náplní práce na tomto tématu.

Cíle práce (konkrétní zadání se domluví individuálně se studentem):

1. Prostudovat základy topologické analýzy: Ball Maper, filtraci, perzistentní homologii.
2. Implementovat vybrané algoritmy, ideálně s podporou GPU v knihovně TNL, případně porovnat s jinou existující implementací.
3. Vizualizovat výsledky (např. persistence diagramy, barcodes).
4. Aplikovat TDA na reálná nebo syntetická data (např. cloud point data, grafy, signály).

Přínosy pro studenta:

1. Získá znalosti z moderní aplikované topologie.
2. Vyzkouší si práci s reálnými daty a jejich netriviální strukturou.
3. Naučí se kombinovat matematiku, numeriku a datovou analytiku.

Zdroje:

1. Carlsson, Gunnar. "Topology and data." Bulletin of the American Mathematical Society 46.2 (2009): 255-308.
2. Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Computational topology: an introduction. American Mathematical Soc., 2010.
3. Carlsson, Gunnar, and Mikael Vejdemo-Johansson. Topological data analysis with applications. Cambridge University Press, 2021.