Místo
Anotace
V mnoha moderních aplikacích – jako je bioinformatika, analýza neuronálních dat, rozpoznávání obrazů nebo modelování materiálů – se setkáváme s daty, která mají složitou vnitřní strukturu. Klasické metody analýzy (statistika, PCA, klastry) často zachycují pouze lineární nebo lokální vztahy.
Topologická data analysis (TDA) přistupuje k datům jinak – zkoumá globální a tvarové vlastnosti dat, jako jsou:
- počet komponent (spojitost),
- kruhové struktury (dutiny),
- víceúrovňová propojení (homologie vyšších řádů).
Oproti např. neuronovým sítím má TDA hlavně tyto výhody:
- Výsledky jsou snadněji vysvětlitelné, na rozdíl od black-box výstupů neuronových sítí.
- Není citlivá na malé perturbace nebo geometrické šumy.
- TDA nepotřebuje velké množství trénovacích dat.
- TDA nevyžaduje učení. Naopak může být využita jako předzpracování dat pro následnou aplikaci NN.
Cílem je extrahovat invariantní charakteristiky dat, které jsou odolné vůči šumu a deformacím, ale zároveň dostatečně diskriminační, aby odhalily významné struktury. V současnosti je téměř nulová podpora využití GPU v TDA algoritmech. To může být další možnou náplní práce na tomto tématu.
Cíle práce (konkrétní zadání se domluví individuálně se studentem):
- Prostudovat základy topologické analýzy: Ball Maper, filtraci, perzistentní homologii.
- Implementovat vybrané algoritmy, ideálně s podporou GPU v knihovně TNL, případně porovnat s jinou existující implementací.
- Vizualizovat výsledky (např. persistence diagramy, barcodes).
- Aplikovat TDA na reálná nebo syntetická data (např. cloud point data, grafy, signály).
Přínosy pro studenta:
- Získá znalosti z moderní aplikované topologie.
- Vyzkouší si práci s reálnými daty a jejich netriviální strukturou.
- Naučí se kombinovat matematiku, numeriku a datovou analytiku.
Zdroje:
- Carlsson, Gunnar. "Topology and data." Bulletin of the American Mathematical Society 46.2 (2009): 255-308.
- Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Computational topology: an introduction. American Mathematical Soc., 2010.
- Carlsson, Gunnar, and Mikael Vejdemo-Johansson. Topological data analysis with applications. Cambridge University Press, 2021.
Vedoucí práce
KOS